如图,在锐角△ABC中,∠A=60°,∠ACB=45°,以BC为弦作⊙O,交AC于点D,OD与BC交于点E,若...
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如图,在锐角△ABC中,∠A=60°,∠ACB=45°,以BC为弦作⊙O,交AC于点D,OD与BC交于点E,若AB与⊙O相切,则下列结论:
①∠BOD=90°;②DO∥AB;③CD=AD;④△BDE∽△BCD;⑤=
正确的有( )
A.①② B.①④⑤ C.①②④⑤ D.①②③④⑤
【回答】
C【解答】解:∵∠ACB=45°,
∴由圆周角定理得:∠BOD=2∠ACB=90°,∴①正确;
∵AB切⊙O于B,
∴∠ABO=90°,
∴∠DOB+∠ABO=180°,
∴DO∥AB,∴②正确;
假如CD=AD,因为DO∥AB,
所以CE=BE,
根据垂径定理得:OD⊥BC,
则∠OEB=90°,
∵已*出∠DOB=90°,
∴此时△OEB不存在,∴③错误;
∵∠DOB=90°,OD=OB,
∴∠ODB=∠OBD=45°=∠ACB,
即∠ODB=∠C,
∵∠DBE=∠CBD,
∴△BDE∽△BCD,∴④正确;
过E作EM⊥BD于M,
则∠EMD=90°,
∵∠ODB=45°,
∴∠DEM=45°=∠EDM,
∴DM=EM,
设DM=EM=a,
则由勾股定理得:DE=a,
∵∠ABC=180°﹣∠C﹣∠A=75°,
又∵∠OBA=90°,∠OBD=45°,
∴∠OBC=15°,
∴∠EBM=30°,
在Rt△EMB中BE=2EM=2a,
∴==,∴⑤正确;
故选:C.
知识点:点和圆、直线和圆的位置关系
题型:选择题
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