某农场有一块农田,如图所示,它的边界由圆的一段圆弧(为此圆弧的中点)和线段构成.已知圆的半径为40米,点到的距...
问题详情:
某农场有一块农田,如图所示,它的边界由圆的一段圆弧(为此圆弧的中点)和线段构成.已知圆的半径为40米,点到的距离为50米.现规划在此农田上修建两个温室大棚,大棚内的地块形状为矩形,大棚内的地块形状为,要求均在线段上,均在圆弧上.设与所成的角为.
(1)用分别表示矩形和的面积,并确定的取值范围;
(2)若大棚内种植*种蔬菜,大棚内种植乙种蔬菜,且*、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为.求当为何值时,能使*、乙两种蔬菜的年总产值最大.
【回答】
(1), ;(2).
【解析】
分析:(1)先根据条件求矩形长与宽,三角形的底与高,再根据矩形面积公式以及三角形面积公式得结果,最后根据实际意义确定的取值范围;(2)根据条件列函数关系式,利用导数求极值点,再根据单调*确定函数最值取法.
详解:
解:(1)连结PO并延长交MN于H,则PH⊥MN,所以OH=10.
过O作OE⊥BC于E,则OE∥MN,所以∠COE=θ,
故OE=40cosθ,EC=40sinθ,
则矩形ABCD的面积为2×40cosθ(40sinθ+10)=800(4sinθcosθ+cosθ),
△CDP的面积为×2×40cosθ(40–40sinθ)=1600(cosθ–sinθcosθ).
过N作GN⊥MN,分别交圆弧和OE的延长线于G和K,则GK=KN=10.
令∠GOK=θ0,则sinθ0=,θ0∈(0,).
当θ∈时,才能作出满足条件的矩形ABCD,
所以sinθ的取值范围是.
答:矩形ABCD的面积为800(4sinθcosθ+cosθ)平方米,△CDP的面积为
1600(cosθ–sinθcosθ),sinθ的取值范围是.
(2)因为*、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3,
设*的单位面积的年产值为4k,乙的单位面积的年产值为3k(k>0),
则年总产值为4k×800(4sinθcosθ+cosθ)+3k×1600(cosθ–sinθcosθ)
=8000k(sinθcosθ+cosθ),θ∈.
设f(θ)= sinθcosθ+cosθ,θ∈,
则.
令,得θ=,
当θ∈(θ0,)时,,所以f(θ)为增函数;
当θ∈(,)时,,所以f(θ)为减函数,
因此,当θ=时,f(θ)取到最大值.
答:当θ=时,能使*、乙两种蔬菜的年总产值最大.
点睛:解决实际应用题的步骤一般有两步:一是将实际问题转化为数学问题;二是利用数学内部的知识解决问题.
知识点:导数及其应用
题型:解答题
-
下列加点词注音全对的一项是( )A.浣女(huàn) 谄媚(xiàn) 邂逅(xiè)B.惘然(wǎn...
问题详情:下列加点词注音全对的一项是( )A.浣女(huàn) 谄媚(xiàn) 邂逅(xiè)B.惘然(wǎnɡ) 纶巾(ɡuān) 铜钿(tián)C.湓浦(pǔ) 贾人(ɡǔ) 嘲哳(zāo)D.迸发(bènɡ) 谪居(zhé) 锦瑟(sì)【回答】【*】B【解析】试题分析:A.Chǎn,C.zhāo,D.s...
-
对于锌一铜一稀硫*组成的原电池装置中,当导线中有1mol电子通过时,理论上的两极变化是( )。 ①锌片...
问题详情:对于锌一铜一稀硫*组成的原电池装置中,当导线中有1mol电子通过时,理论上的两极变化是( )。 ①锌片溶解了32.5g②锌片增重32.5g③铜片上析出lgH2 ④铜片上析出1molH2 A.①和③ B.①和④ C.②和③ D.②和④【回答】A知识...
-
已知铁的一种氧化物,其中含氧元素的质量分数为30%,则这种铁的氧化物的化学式为 ( ) A.FeO ...
问题详情:已知铁的一种氧化物,其中含氧元素的质量分数为30%,则这种铁的氧化物的化学式为()A.FeO B.Fe2O3C.Fe3O4 D.无法判断【回答】B知识点:金属的化学*质题型:选择题...
-
某有机物结构简式为,下列关于该有机物的说法中不正确的是( )A.遇FeCl3溶液显紫*B.与足量的*氧化*溶...
问题详情:某有机物结构简式为,下列关于该有机物的说法中不正确的是()A.遇FeCl3溶液显紫*B.与足量的*氧化*溶液在一定条件下反应,最多消耗NaOH3molC.能发生缩聚反应和加聚反应D.1mol该有机物与溴发生加成反应,最多消耗1molBr2【回答】解析A项,有机物分子中存在*羟基,所以...
相关文章
- 如图所示,每米电阻为lΩ的一段导线被弯成半径r=lm的三段圆弧组成闭合回路.每段圆弧都是圆周,位于空间直角坐标...
- 如图所示,均匀磁场中有一由半圆弧及其直径构成的导线框,半圆直径与磁场边缘重合;磁场方向垂直于半圆面(纸面)向里...
- 如图所示,固定曲面AC是一段半径为4.0米的光滑圆弧形成的,圆弧与水平方向相切于A点,AB=10cm,现将一小...
- 如图,分别以等边三角形的每个顶点为圆心、以边长为半径在另两个顶点间作一段圆弧,三段圆弧围成的曲边三角形称为勒洛...
- 如图7所示,均匀磁场中有一由半圆弧及其直径构成的导线框,半圆直径与磁场边缘重合;磁场方向垂直于半圆面(纸面)向...
- 高台滑雪运动员经过一段弧长为s=m的圆弧后,从圆弧上的O点水平飞出,圆弧半径R=10m,他在圆弧上的O点受到的...
- 如图,将半径为1的圆分成相等的四段弧,再将四段弧围成星形放在单位圆内(*影部分),现在往圆内任投一点,此点落在...
- 如图,在矩形中,,,以为圆心,1为半径作四分之一个圆弧,在圆弧上任取一点,则直线与线段有公共点的概率是 ...
- 某农场有一块农田,如图所示,它的边界由圆O的一段圆弧(P为此圆弧的中点)和线段MN构成.已知圆O的半径为40米...
- 如图所示,左侧是半径为R的四分之一圆弧,右侧是半径为2R的一段圆弧.二者圆心在一条竖直线上,小球a、b通过一轻...