已知数列（其中第一项是，接下来的项是，再接下来的项是，依此类推）的前项和为，下列判断：①是的第项；②存在常数，...

问题详情：

已知数列（其中第一项是，接下来的项是，再接下来的项是，依此类推）的前项和为，下列判断：

①是的第项；②存在常数，使得恒成立；③；④满足不等式的正整数的最小值是.

其中正确的序号是（    ）

A．①③                      B．①④                      C．①③④                  D．②③④

【回答】

B

【解析】

找出数列的规律：分母为的项有项，并将这些项排成杨辉三角形式的数阵，使得第有项，每项的分母均为，并计算出每行各项之和，并计算出数列的前项和，结合这些规律来判断各题的正误。

【详解】

由题意可知，数列的规律为：分母为的项有项，将数列中的项排成杨辉三角数阵，且使得第行每项的分母为，该行有项，如下所示：

对于命题①，位于数阵第行最后一项，对应于数列的项数为

，命题①正确；

对于命题②，数阵中第行各项之和为，则，

且数列的前项之和为

，

当时，，因此，不存在正数，使得，命题②错误；

对于命题③，易知第行最后一项位于数列的项数为

，

第行最后一项位于数列的项数为，且，

则位于数阵第行第项（即），

所以，

           ，命题③错误；

由①知，，且，

则恰好满足的项位于第行，假设位于第项，

则有，可得出，

由于，，则，，

因此，满足的最小正整数，命题④正确。

故选：B.

【点睛】

本题考查归纳推理，考查与数列相关的知识，关键要找出数列的规律，在解题时可以将规律转化为杨辉三角来处理，在做题过程中找出项与数阵中相对应的位置，综合*较强，属于难题。

知识点：数列

题型：选择题