将一个直角三角形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点B在第一象限，，，点P在边上（点P不与点重合）． （1）...

问题详情：

将一个直角三角形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点B在第一象限，，，点P在边上（点P不与点重合）．

（1）如图①，当时，求点P的坐标；

（2）折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点P，并与x轴的正半轴相交于点Q，且，点O的对应点为，设．

①如图②，若折叠后与重叠部分为四边形，分别与边相交于点，试用含有t的式子表示的长，并直接写出t的取值范围；

②若折叠后与重叠部分的面积为S，当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）．

【回答】

（1）点P的坐标为；（2）①，t的取值范围是；②．

【分析】

（1）过点P作轴，则，因为，，可得，进而得，由30°所对的直角边等于斜边的一半可得，进而用勾股定理可得，点P的坐标即求出；

（2）①由折叠知，，所以，；再根据，即可根据菱形的定义“四条边相等的四边形是菱形”可*四边形为菱形，所以，可得；根据点A的坐标可知，加之，从而有；而在中，，

又因为，所以得，由和的取值范围可得t的范围是；

②由①知，为等边三角形，由（1）四边形为菱形，所以,三角形DCQ为直角三角形，∠Q=60°，从而，,进而可得，又已知t的取值范围是，即可得．

【详解】

解：（1）如图，过点P作轴，垂足为H，则．

，

．

．

在中，，

，．

点P的坐标为．

（2）①由折叠知，，

，．

又，

．

四边形为菱形．

．可得．

点，

．有．

在中，．

，

，其中t的取值范围是．

②由①知，为等边三角形，

∵四边形为菱形，

∴,三角形DCQ为直角三角形，∠Q=60°，

∴，,

∴，

∵，

∴．

，

【点睛】

本题主要考查了折叠问题，菱形的判定与*质，求不规则四边形的面积等知识．

知识点：实际问题与二次函数

题型：解答题