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《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有刍甍,下广三丈,袤四丈;上袤二丈,无广;高一丈,问:积几何?”其意思为:“如图,在多面体ABCDEF中,底面ABCD是矩形,宽BC为3丈,长AB为4丈,EF∥AB,EF为2丈,EF与平面ABCD之间的距离为1丈.问该多面体的体积是多少?”估算该几何体的体积为( )
A.2丈3 B.丈3
C.丈3 D.5丈3
【回答】
D 解析 (方法一)
如图,连接AF,DF,可知四棱锥F-ABCD的体积为V四棱锥F-ABCD=S矩形ABCD·h=4×3×1=4(丈3),又该几何体的体积V=V四棱锥F-ABCD+V三棱锥E-ADF>V四棱锥F-ABCD=4丈3,故选D.
(方法二)
如图,取AB的中点G,CD的中点H,连接FG,GH,HF,则该几何体的体积为V=V四棱锥F-GBCH+V三棱柱ADE-GHF.
而三棱柱ADE-GHF可以通过割补法得到一个高为EF,底面积为S=3×1=(丈2)的一个直棱柱,
故V=2+2×3×1=5(丈3),故选D.
知识点:空间中的向量与立体几何
题型:选择题
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