若圆x2+(y﹣1)2=r2与曲线(x﹣1)y=1没有公共点,则半径r的取值范围是( )A.0<r< ...
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若圆x2+(y﹣1)2=r2与曲线(x﹣1)y=1没有公共点,则半径r的取值范围是( )
A.0<r< B.0<r< C.0<r< D.0<r<
【回答】
C【考点】圆与圆锥曲线的综合.
【分析】求得圆的圆心和半径,设圆与曲线y=相切的切点为(m,n),代入曲线的方程,求出函数的导数和切线的斜率,由两点的斜率公式和两直线垂直的条件:斜率之积为﹣1,解方程可得切点,进而得到此时圆的半径,结合图象即可得到所求范围.
【解答】解:圆的圆心为(0,1),半径为r,
设圆与曲线y=相切的切点为(m,n),
可得n=,①
y=的导数为y′=﹣,
可得切线的斜率为﹣,
由两点的斜率公式可得•(﹣)=﹣1,
即为n﹣1=m(m﹣1)2,②
由①②可得n4﹣n3﹣n﹣1=0,
化为(n2﹣n﹣1)(n2+1)=0,
即有n2﹣n﹣1=0,解得n=或,
则有或.
可得此时圆的半径r==.
结合图象即可得到圆与曲线没有公共点的时候,
r的范围是(0,).
故选:C.
知识点:圆锥曲线与方程
题型:选择题
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