如图,点A在数轴上对应的数为26,以原点O为圆心,OA为半径作优弧,使点B在O右下方,且tan∠AOB=,在优...
问题详情:
如图,点A在数轴上对应的数为26,以原点O为圆心,OA为半径作优弧,使点B在O右下方,且tan∠AOB=,在优弧上任取一点P,且能过P作直线l∥OB交数轴于点Q,设Q在数轴上对应的数为x,连接OP.
(1)若优弧上一段的长为13π,求∠AOP的度数及x的值;
(2)求x的最小值,并指出此时直线l与所在圆的位置关系;
(3)若线段PQ的长为12.5,直接写出这时x的值.
【回答】
(1)∠POA=90°,x=;(2)当直线PQ与⊙O相切时时,此时x的值为﹣32.5;(3)满足条件的x的值为﹣16.5或31.5或﹣31.5.
【分析】
(1)利用弧长公式求出圆心角即可解决问题;
(2)如图当直线PQ与⊙O相切时时,x的值最小.
(3)由于P是优弧上的任意一点,所以P点的位置分三种情形,分别求解即可解决问题.
【详解】
解:(1)如图1中,
由=13π,
解得n=90°,
∴∠POQ=90°,
∵PQ∥OB,
∴∠PQO=∠BOQ,
∴tan∠PQO=tan∠QOB=,
∴OQ=,
∴x=;
(2)如图当直线PQ与⊙O相切时时,x的值最小.
在Rt△OPQ中,OQ=OP÷=32.5,
此时x的值为﹣32.5;
(3)分三种情况:
①如图2中,作OH⊥PQ于H,设OH=4k,QH=3k.
在Rt△OPH中,∵OP2=OH2+PH2,
∴262=(4k)2+(12.5﹣3k)2,
整理得:k2﹣3k﹣20.79=0,
解得k=6.3或﹣3.3(舍弃),
∴OQ=5k=31.5.
此时x的值为31.5.
②如图3中,作OH⊥PQ交PQ的延长线于H.设OH=4k,QH=3k.
在Rt△在Rt△OPH中,∵OP2=OH2+PH2,
∴262=(4k)2+(12.5+3k)2,
整理得:k2+3k﹣20.79=0,
解得k=﹣6.3(舍弃)或3.3,
∴OQ=5k=16.5,
此时x的值为﹣16.5.
③如图4中,作OH⊥PQ于H,设OH=4k,AH=3k.
在Rt△OPH中,∵OP2=OH2+PH2,
∴262=(4k)2+(12.5﹣3k)2,
整理得:k2﹣3k﹣20.79=0,
解得k=6.3或﹣3.3(舍弃),
∴OQ=5k=31.5不合题意舍弃.
此时x的值为﹣31.5.
综上所述,满足条件的x的值为﹣16.5或31.5或﹣31.5.
【点睛】
本题考查了弧长公式、平行线的*质、解直角三角形等知识,综合*较强,有一定的难度,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题,学会用分类讨论的思想思考问题.
知识点:点和圆、直线和圆的位置关系
题型:解答题
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