梯形ABCD中AB∥CD,∠ADC+∠BCD=90°,以AD、AB、BC为斜边向外作等腰直角三角形,其面积分别...
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梯形ABCD中AB∥CD,∠ADC+∠BCD=90°,以AD、AB、BC为斜边向外作等腰直角三角形,其面积分别是S1、S2、S3,且S1+S3=4S2,则CD=( )
A.2.5AB B.3AB C.3.5AB D.4AB
【回答】
B【考点】勾股定理;等腰直角三角形;相似三角形的判定与*质.
【专题】计算题;*题;压轴题.
【分析】过点B作BM∥AD,根据AB∥CD,求*四边形ADMB是平行四边形,再利用∠ADC+∠BCD=90°,求*△MBC为Rt△,再利用勾股定理得出MC2=MB2+BC2,在利用相似三角形面积的比等于相似比的平方求出MC即可.
【解答】解:过点B作BM∥AD,
∵AB∥CD,∴四边形ADMB是平行四边形,
∴AB=DM,AD=BM,
又∵∠ADC+∠BCD=90°,
∴∠BMC+∠BCM=90°,即△MBC为Rt△,
∴MC2=MB2+BC2,
∵以AD、AB、BC为斜边向外作等腰直角三角形,
∴△AED∽△ANB,△ANB∽△BFC,
=, =,
即AD2=,BC2=,
∴MC2=MB2+BC2=AD2+BC2=+=,
∵S1+S3=4S2,
∴MC2=4AB2,MC=2AB,
CD=DM+MC=AB+2AB=3AB.
故选:B.
【点评】此题涉及到相似三角形的判定与*质,勾股定理,等腰直角三角形等知识点,解答此题的关键是过点B作BM∥AD,此题的突破点是利用相似三角形的*质求得MC=2AB,此题有一定的拔高难度,属于难题.
知识点:勾股定理
题型:选择题
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