如图,在菱形ABCD中,AB=2,∠BAD=60°,沿对角线BD将△ABD折起,使点A,C之间的距离为,若P,...
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如图,在菱形ABCD中,AB=2,∠BAD=60°,沿对角线BD将△ABD折起,使点A,C之间的距离为,若P,Q分别为线段BD,CA上的动点.
(1) 求线段PQ长度的最小值;
(2) 当线段PQ长度最小时,求直线PQ与平面ACD所成角的正弦值.
【回答】
取BD的中点E,连接AE,CE,则AE⊥BD,CE⊥BD,AE=CE=.
因为AC=,所以AE2+CE2=AC2,所以三角形ACE为直角三角形,所以AE⊥CE,
所以AE⊥平面BCD. (2分)
以EB,EC,EA分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,则B(1,0,0),C(0,,0),A(0,0,). (3分)
(1) 设P(a,0,0),=λ=(0,-λ,λ),
则=+=(-a,,0)+(0,-λ,λ)=(-a,-λ,λ),
||=
=
= (5分)
当a=0,λ=时,PQ长度最小值为. (6分)
(2) 由(1)知=,设平面ACD的一个法向量为n=(x,y,z).
由n⊥DA,n⊥DC,得 化简,得取n=(,-1,-1). (8分)
设PQ与平面ACD所成角为θ,
则sin θ=|cos<,n>|==,
故直线PQ与平面ACD所成角的正弦值为.
知识点:空间中的向量与立体几何
题型:解答题
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