在平面直角坐标系中,对于任意两点与的“非常距离”,给出如下定义:若,则点与点的“非常距离”为;若,则点与点的“...
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在平面直角坐标系中,对于任意两点与的“非常距离”,给出如下定义: 若,则点与点的“非常距离”为;若,则点与点的“非常距离”为.
例如:点,点,因为,所以点与点的“非常距离”为,也就是图1中线段与线段长度的较大值(点为垂直于轴的直线与垂直于轴的直线的交点)。
(1)已知点,为轴上的一个动点,①若点与点的“非常距离”为2,写出一个满足条件的点的坐标;②直接写出点与点的“非常距离”的最小值;
(2)已知是直线上的一个动点,①如图2,点的坐标是(0,1),求点与点的“非常距离”的最小值及相应的点的坐标; ②如图3,是以原点为圆心,1为半径的圆上的一个动点,求点与点的“非常距离”的最小值及相应的点和点的坐标。
【回答】
解:(1)①∵B为y轴上的一个动点,
∴设点B的坐标为(0,y).
∵|﹣﹣0|=≠2,
∴|0﹣y|=2,
解得,y=2或y=﹣2;
∴点B的坐标是(0,2)或(0,﹣2);…………………………………2分
②点A与点B的“非常距离”的最小值为…………………………………3分
(2)①如图2,取点C与点D的“非常距离”的最小值时,需要根据运算定义“若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|,则点P1与点P2的“非常距离”为|x1﹣x2|”解答,此时|x1﹣x2|=|y1﹣y2|.即AC=AD,
∵C是直线y=x+3上的一个动点,点D的坐标是(0,1),
∴设点C的坐标为(x0,x0+3),
∴﹣x0=x0+2,
此时,x0=﹣, …………………………………4分
∴点C与点D的“非常距离”的最小值为:|x0|=,…………………………………5分
此时C(﹣,); …………………………………6分
②当点E在过原点且与直线y=x+3垂直的直线上时,点C与点E的“非常距离”最小,设E(x,y)(点E位于第二象限).则
,
解得,,
故E(﹣,). …………………………………7分
﹣﹣x0=x0+3﹣,
解得,x0=﹣, …………………………………8分
则点C的坐标为(﹣,),…………………………………9分
最小值为1. …………………………………10分
知识点:一次函数
题型:解答题
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