农经公司以30元/千克的价格收购一批农产品进行销售,为了得到日销售量p(千克)与销售价格x(元/千克)之间的关...
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农经公司以30元/千克的价格收购一批农产品进行销售,为了得到日销售量p(千克)与销售价格x(元/千克)之间的关系,经过市场调查获得部分数据如下表:
销售价格x(元/千克) | 30 | 35 | 40 | 45 | 50 |
日销售量p(千克) | 600 | 450 | 300 | 150 | 0 |
(1)请你根据表中的数据,用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定p与x之间的函数表达式;
(2)农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格,才能使日销售利润最大?
(3)若农经公司每销售1千克这种农产品需支出a元(a>0)的相关费用,当40≤x≤45时,农经公司的日获利的最大值为2430元,求a的值.(日获利=日销售利润﹣日支出费用)
【回答】
(1)函数关系为p=﹣30x+1500;(2)这批农产品的销售价格定为40元,才能使日销售利润最大;(3)a的值为2.
【分析】
(1)首先根据表中的数据,可猜想y与x是一次函数关系,任选两点求表达式,再验*猜想的正确*; (2)根据题意列出日销售利润w与销售价格x之间的函数关系式,根据二次函数的*质确定最大值即可; (3)根据题意列出日销售利润w与销售价格x之间的函数关系式,并求得抛物线的对称轴,再分两种情况进行讨论,依据二次函数的*质求得a的值.
【详解】
(1)假设p与x成一次函数关系,设函数关系式为p=kx+b,
则,
解得:k=﹣30,b=1500,
∴p=﹣30x+1500,
检验:当x=35,p=450;当x=45,p=150;当x=50,p=0,符合一次函数解析式,
∴所求的函数关系为p=﹣30x+1500;
(2)设日销售利润w=p(x﹣30)=(﹣30x+1500)(x﹣30)
即w=﹣30x2+2400x﹣45000,
∴当x=﹣=40时,w有最大值3000元,
故这批农产品的销售价格定为40元,才能使日销售利润最大;
(3)日获利w=p(x﹣30﹣a)=(﹣30x+1500)(x﹣30﹣a),
即w=﹣30x2+(2400+30a)x﹣(1500a+45000),
对称轴为x=﹣=40+a,
①若a≥10,则当x=45时,w有最大值,
即w=2250﹣150a<2430(不合题意);
②若a<10,则当x=40+a时,w有最大值,
将x=40+a代入,可得w=30(a2﹣10a+100),
当w=2430时,2430=30(a2﹣10a+100),
解得a1=2,a2=-38(舍去),
综上所述,a的值为2.
【点睛】
本题主要考查二次函数的应用,解题的关键是: (1) 首先根据表中的数据,可猜想y与x是一次函数关系, 任选两点求表达式,再验*猜想的正确*; (2)根据题意列出日销售利润w与销售价格x之间的函数关系式,根据二次函数的*质确定最大值即可; (3)根据题意列出日销售利润w与销售价格x之间的函数关系式,并求得抛物线的对称轴,再分两种情况进行讨论,依据二次函数的*质求得a的值.
知识点:一次函数
题型:解答题
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