如图，已知ABCD是上、下底边长分别为2和6，高为的等腰梯形，将它沿对称轴OO1折成直二面角．（1）*：AC...

问题详情：

如图，已知ABCD是上、下底边长分别为2和6，高为的等腰梯形，将它沿对称轴OO1折成直二面角．

（1）*：AC⊥BO1；

（2）求二面角O﹣AC﹣O1的余弦值．

【回答】

【解答】*：（1）由题设知OA⊥OO1，OB⊥OO1，

所以∠AOB是所折成的直二面角的平面角，

即OA⊥OB

从而AO⊥平面OBCO1，

OC是AC在面OBCO1内的*影

因为tan∠OO1A==，tan∠O1OC==，

所以∠OO1B=60°，∠O1OC=30°，

从而OC⊥BO1

由三垂线定理得AC⊥BO1．

解：（2）由（1）AC⊥BO1，OC⊥BO1，知BO1⊥平面AOC

设OC∩O1B=E，过点E作EF⊥AC于F，连结O1F（如图），

则EF是O1F在平面AOC 内的*影，

由三垂线定理得O1F⊥AC

所以∠O1FE是二面角O﹣AC﹣O1的平面角

由题设知OA=3，OO1=，O1C=1，

所以=2，AC==，

从而=，

又O1E=OO1•sin30°=，

所以sin∠O1FE==，

cos∠O1FE==，

∴二面角O﹣AC﹣O1的余弦值为．

知识点：点 直线 平面之间的位置

题型：解答题