如图,矩形硬纸片ABCD的顶点A在y轴的正半轴及原点上滑动,顶点B在x轴的正半轴及原点上滑动,点E为AB的中点...
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如图,矩形硬纸片ABCD的顶点A在y轴的正半轴及原点上滑动,顶点B在x轴的正半轴及原点上滑动,点E为AB的中点,AB=24,BC=5.给出下列结论:①点A从点O出发,到点B运动至点O为止,点E经过的路径长为12π;②△OAB的面积最大值为144;③当OD最大时,点D的坐标为(,).其中正确的结论是 .(填写序号)
【回答】
②③ .
【分析】①由条件可知AB=24,则AB的中点E的运动轨迹是圆弧,最后根据弧长公式即可计算出点E所经过的路径长;②当△OAB的面积最大时,因为AB=24,所以△OAB为等腰直角三角形,即OA=OB,可求出最大面积为144;③当O、E、D三点共线时,OD最大,过点D作DF⊥y轴于点F,可求出OD=25,*△DFA∽△AOB和△DFO∽△BOA,可求出DF长,则D点坐标可求出.
【解答】解:∵点E为AB的中点,AB=24,
∴OE=,
∴AB的中点E的运动轨迹是以点O为圆心,12为半径的一段圆弧,
∵∠AOB=90°,
∴点E经过的路径长为,故①错误;
当△OAB的面积最大时,因为AB=24,所以△OAB为等腰直角三角形,即OA=OB,
∵E为AB的中点,
∴OE⊥AB,OE=,
∴=144,故②正确;
如图,当O、E、D三点共线时,OD最大,过点D作DF⊥y轴于点F,
∵AD=BC=5,AE=,
∴=13,
∴OD=DE+OE=13+12=25,
设DF=x,
∴,
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠DAB=90°,
∴∠DFA=∠AOB,
∴∠DAF=∠ABO,
∴△DFA∽△AOB
∴,
∴,
∴,
∵E为AB的中点,∠AOB=90°,
∴AE=OE,
∴∠AOE=∠OAE,
∴△DFO∽△BOA,
∴,
∴,
解得x=,x=﹣舍去,
∴,
∴.故③正确.
知识点:各地中考
题型:填空题
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