如图,半径为的与边长为的正方形的边相切于E,点F为正方形的中心,直线过点.当正方形沿直线以每秒的速度向左运动
问题详情:
如图,半径为的与边长为的正方形的边相切于E,点F为正方形的中心,直线过点.当正方形沿直线以每秒的速度向左运动__________秒时,与正方形重叠部分的面积为.
【回答】
1或.
【解析】
将正方形向左平移,使得正方形与圆的重叠部分为弓形,根据题目数据求得此时弓形面积符合题意,由此得到OF的长度,然后结合运动速度求解即可,特别要注意的是正方形沿直线运动,所以需要分类讨论.
【详解】
解:①当正方形运动到如图1位置,连接OA,OB,AB交OF于点E
此时正方形与圆的重叠部分的面积为S扇形OAB-S△OAB
由题意可知:OA=OB=AB=2,OF⊥AB
∴△OAB为等边三角形
∴∠AOB=60°,OE⊥AB
在Rt△AOE中,∠AOE=30°,∴AE=,OE=
∴S扇形OAB-S△OAB
∴OF=
∴点F向左运动个单位
所以此时运动时间为秒
②同理,当正方形运动到如图2位置,连接OC,OD,CD交OF于点E
此时正方形与圆的重叠部分的面积为S扇形OCD-S△OCD
由题意可知:OC=OD=CD=2,OF⊥CD
∴△OCD为等边三角形
∴∠COD=60°,OE⊥CD
在Rt△COE中,∠COE=30°,∴CE=,OE=
∴S扇形OCD-S△OCD
∴OF=
∴点F向左运动个单位
所以此时运动时间为秒
综上,当运动时间为1或秒时,⊙O与正方形重叠部分的面积为
故*为:1或.
【点睛】
本题考查正方形的*质,扇形面积的计算及等边三角形的判定和*质,题目难度不大,注意分情况讨论是本题的解题关键.
知识点:弧长和扇形面积
题型:填空题
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