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祖暅是我国古代的伟大科学家,他在5世纪末提出祖暅:“幂势即同,则积不容异”,意思是:夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意一个平面所截,若截面面积都相等,则这两个几何体的体积相等. 祖暅原理常用来由已知几何体的体积推导未知几何体的体积,例如由圆锥和圆柱的体积推导半球体的体积,其示意图如图所示,其中图(1)是一个半径为R的半球体,图(2)是从圆柱中挖去一个圆锥所得到的几何体. (圆柱和圆锥的底面半径和高均为R)
利用类似的方法,可以计算抛物体的体积:在x-O-y坐标系中,设抛物线C的方程为y=1-x2 (-1x1),将曲线C围绕y轴旋转,得到的旋转体称为抛物体. 利用祖暅原理可计算得该抛物体的体积为( ).
A. B. C. D.
【回答】
B
【解析】
分析:构造直三棱柱,*二者截面面积相等,从而求出三棱柱体积,即可得到抛物体的体积.
详解:构造如图所示的直三棱柱,高设为x,底面两个直边长为2,1
若底面积相等得到:,
下面说明截面面积相等,设截面距底面为t,矩形截面长为a,圆形截面半径为r,
由左图得到,,∴,∴截面面积为
由右图得到,(坐标系中易得),∴,∴截面面积为
∴二者截面面积相等,∴体积相等。
∴抛物体的体积为.
故选:B
点睛:本题考查了数学文化,读懂题干含义,合理构造适合题意得几何体是解题关键,属于中档题.
知识点:推理与*
题型:选择题
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