设数列是等差数列,数列是各项都为正数的等比数列,且.(1)求数列,的通项公式;(2)设,,,试比较与的大小.
问题详情:
设数列是等差数列,数列是各项都为正数的等比数列,且.
(1)求数列,的通项公式;
(2)设,,,试比较与的大小.
【回答】
(1)an=2n﹣1,bn=3n.(2)当n=1时,Tn=2anbn;当n≥2时,Tn<2anbn.
【解析】
(1)用等差数列和等比数列的基本量法求解;
(2)用错位相减法求和.然后用作差法比较大小.
【详解】(1)设等差数列{an}公差为d,等比数列{bn}公比为q.
∵a1=1,b1=3,a2+b3=30,a3+b2=14,
∴,化为2q2﹣q﹣15=0,q=3(舍去).
∴q=3,d=2.
∴an=1+2(n﹣1)=2n﹣1,bn=3n.
(2)cn=(an+1)•bn=2n•3n,
∴Tn=2(3+2×32+…+n•3n),
3Tn=2[32+2×33+…+(n﹣1)×3n+n•3n+1],
∴﹣2Tn=2(3+32+…+3n﹣n×3n+1)=2(1﹣2n)×3n+1﹣3,
∴Tn.
又2anbn=2(2n﹣1)×3n.
∴Tn﹣2anbn2(2n﹣1)×3n,
当n=1时,Tn=2anbn,
当n≥2时,Tn<2anbn.
【点睛】本题考查等差数列和等比数列的通项公式,考查错位相减法求和.数列是等差数列,数列是等比数列,则数列用裂项相消法求和,数列用错位相减法求和.
知识点:数列
题型:解答题
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