如图所示,、、为三个质点,的质量远远大于、的质量,和的质量相等。已知、之间,、之间存在相互吸引力。、之间存在相...
问题详情:
如图所示,、、为三个质点,的质量远远大于、的质量,和的质量相等。已知、之间,、之间存在相互吸引力。、之间存在相互排斥力,三个把质点在相互间引力或斥力的作用下运动,如果作用力合适,可以存在一种如下形式的运动:
A、、的相对位置固定,它们构成一个平面,三个质点绕着位于这个平面内的某条轴匀速转动;因为质点的质量远远大于、的质量,可认为该轴过质点且固定不动;连线与转轴的夹角与连线与转轴的夹角不相等,且,。
若之间吸引力的大小,之间吸引力的大小为,其中、分别为、与、之间的距离,为比例系数,不计重力的影响。试问的值在什么范围内,上述运动才能实现?
【回答】
解法1:
以表示质点的质点,表示连线与竖直方向的夹角,表示转动角速度,表示间排斥力的大小。根据牛顿定律有
, (1)
, (2)
, (3)
。 (4)
由(1)、(3)两式并利用(2)、(4)两式可得
。 (5)
考虑到几何关系
(6)
并利用已知和的表示式。可由(5)得到
(7)
又,由(2)、(4)式可得。 (8)
带入已知的和的表达式可得
。 (9)
联立(7)、(9)从而有
。 (10)
如果,则意味着方程
(11)
在区间有两个不同的解,其中为某一合适的常数。这要求函数在区间不能是单调函数,也就是说和不能同时为单调增函数或单调减函数。因此当增大时,若增大,则应减小;反之,若减小,则应增大,故与同号。因此有
(12)
。 (13)
对,可知在及时均为零,因此在区间一定存在极值点,意味着方程(11)在合适选取的情况下必有两个或两个以上的不同解。对亦然。因此条件(12)、(13)是符合题意要求的充分必要条件。
评分标准:(1)~(4)式各1分,(6)式1分,(10)式6分,(12)、(13)式及其以下说明共4分。
解法2:
如图,设、间的排斥力是,它们受到的吸引力分别是、,向心力分别是、,距离分别是、;根据三角形的相似关系,有
, (1a)
。 (2a)
以上两式相比可得
(3a)
依题意有
, (4a)
, (5a)
, (6a)
将(4a)~(6a)代入(3a)得
。 (7a)
由(7a)得
。 (8a)
之后的讨论与“参考解答1”相同。
评分标准:考虑“参考解答1”。
知识点:物理竞赛
题型:综合题
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