如图,直线l1∥l2∥l3,A,B,C分别为直线l1,l2,l3上的动点,连接AB,BC,AC,线段AC交直线...
问题详情:
如图,直线l1∥l2∥l3,A,B,C分别为直线l1,l2,l3上的动点,连接AB,BC,AC,线段AC交直线l2于点D.设直线l1,l2之间的距离为m,直线l2,l3之间的距离为n,若∠ABC=90°,BD=4,且=,则m+n的最大值为 .
【回答】
.
【分析】过B作BE⊥l1于E,延长EB交l3于F,过A作AN⊥l2于N,过C作CM⊥l2于M,设AE=x,CF=y,BN=x,BM=y,得到DM=y﹣4,DN=4﹣x,根据相似三角形的*质得到xy=mn,y=﹣x+10,由=,得到n=m,于是得到(m+n)最大=m,然后根据二次函数的*质即可得到结论.
【解答】解:过B作BE⊥l1于E,延长EB交l3于F,过A作AN⊥l2于N,过C作CM⊥l2于M,
设AE=x,CF=y,BN=x,BM=y,
∵BD=4,
∴DM=y﹣4,DN=4﹣x,
∵∠ABC=∠AEB=∠BFC=∠CMD=∠AND=90°,
∴∠EAB+∠ABE=∠ABE+∠CBF=90°,
∴∠EAB=∠CBF,
∴△ABE∽△BFC,
∴,即=,
∴xy=mn,
∵∠ADN=∠CDM,
∴△CMD∽△AND,
∴=,即=,
∴y=﹣x+10,
∵=,
∴n=m,
∴(m+n)最大=m,
∴当m最大时,(m+n)最大=m,
∵mn=xy=x(﹣x+10)=﹣x2+10x=m2,
∴当x=﹣=时,mn最大==m2,
∴m最大=,
∴m+n的最大值为×=.
故*为:.
【点评】本题考查了平行线的*质,相似三角形的判定和*质,二次函数的*质,正确的作出辅助线是解题的关键.
知识点:各地中考
题型:填空题
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