一个几何体是由圆柱和三棱锥EABC组合而成,点A,B,C在圆O的圆周上,其正视图、侧视图的面积分别为10和12...
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一个几何体是由圆柱和三棱锥EABC组合而成,点A,B,C在圆O的圆周上,其正视图、侧视图的面积分别为10和12,如图所示,其中EA⊥平面ABC,AB⊥AC,AB=AC,AE=2.
(1)求*:AC⊥BD;
(2)求二面角ABDC的大小.
【回答】
解:法一 (1)因为EA⊥平面ABC,AC⊂平面ABC,
所以EA⊥AC,
即ED⊥AC.
又因为AC⊥AB,AB∩ED=A,
所以AC⊥平面EBD.
因为BD⊂平面EBD,
所以AC⊥BD.
(2)因为点A,B,C在圆O的圆周上,且AB⊥AC,
所以BC为圆O的直径.
设圆O的半径为r,圆柱高为h,根据正视图、侧视图的面积可得
解得
所以BC=4,AB=AC=2.
过点C作CH⊥BD于点H,连接AH,
由(1)知,AC⊥BD,AC∩CH=C,
所以BD⊥平面ACH.
因为AH⊂平面ACH,
所以BD⊥AH.
所以∠AHC为二面角ABDC的平面角.
由(1)知,AC⊥平面ABD,AH⊂平面ABD,
所以AC⊥AH,
即△CAH为直角三角形.
在Rt△BAD中,AB=2,AD=2,
则BD==2.
由AB·AD=BD·AH,
解得AH=.
因为tan ∠AHC==.
所以∠AHC=60°.
所以二面角ABDC的平面角大小为60°.
法二 (1)因为点A,B,C在圆O的圆周上,且AB⊥AC,所以BC为圆O的直径.
设圆O的半径为r,圆柱高为h,根据正视图、侧视图的面积可得
解得
所以BC=4,AB=AC=2.
以点D为原点,DD1,DE所在的直线分别为x轴、z轴建立如图的空间直角坐标系Dxyz,则D(0,0,0),D1(4,0,0),A(0,0,2),B(2,2,2),
C(2,-2,2),=(2,-2,0),
=(2,2,2).
因为·=(2,-2,0)·(2,2,2)=0,
所以⊥.
所以AC⊥BD.
(2)设n=(x,y,z)是平面BCD的法向量,
=(0,-4,0),
即
取z=-1,则n=(1,0,-1)是平面BCD的一个法向量.
由(1)知,AC⊥BD,
又AC⊥AB,AB∩BD=B,
所以AC⊥平面ABD.
所以=(2,-2,0)是平面ABD的一个法向量.
因为cos<n,>===,
所以<n,>=60°.
而<n,>等于二面角ABDC的平面角,
所以二面角ABDC的平面角大小为60°.
知识点:点 直线 平面之间的位置
题型:解答题
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