某单位为促进职工业务技能提升,对该单位120名职工进行一次业务技能测试,测试项目共5项.现从中随机抽取了10名...
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某单位为促进职工业务技能提升,对该单位120名职工进行一次业务技能测试,测试项目共5项.现从中随机抽取了10名职工的测试结果,将它们编号后得到它们的统计结果如下表(表1)所示(“√”表示测试合格,“×”表示测试不合格).
表1:
编号测试项目 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
1 | × | √ | √ | √ | √ |
2 | √ | √ | √ | √ | × |
3 | √ | √ | √ | √ | × |
4 | √ | √ | √ | × | × |
5 | √ | √ | √ | √ | √ |
6 | √ | × | × | √ | × |
7 | × | √ | √ | √ | × |
8 | √ | × | × | × | × |
9 | √ | √ | × | × | × |
10 | √ | √ | √ | √ | × |
规定:每项测试合格得5分,不合格得0分.
(1)以抽取的这10名职工合格项的项数的频率代替每名职工合格项的项数的概率.
①设抽取的这10名职工中,每名职工测试合格的项数为,根据上面的测试结果统计表,列出的分布列,并估计这120名职工的平均得分;
②假设各名职工的各项测试结果相互*,某科室有5名职工,求这5名职工中至少有4人得分不少于20分的概率;
(2)已知在测试中,测试难度的计算公式为,其中为第项测试难度,为第项合格的人数,为参加测试的总人数.已知抽取的这10名职工每项测试合格人数及相应的实测难度如下表(表2):
表2:
测试项目 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
实测合格人数 | 8 | 8 | 7 | 7 | 2 |
定义统计量,其中为第项的实测难度,为第项的预测难度().规定:若,则称该次测试的难度预测合理,否则为不合理,测试前,预估了每个预测项目的难度,如下表(表3)所示:
表3:
测试项目 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
预测前预估难度 | 0.9 | 0.8 | 0.7 | 0.6 | 0.4 |
判断本次测试的难度预估是否合理.
【回答】
【详解】(1)①根据上面的测试结果统计表,得的分布列为:
0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | |
0 | 0.1 | 0.2 | 0.2 | 0.4 | 0.1 |
所以的数学期望.
所以估计这12名职工的平均得分为.
②“得分不小于20分”即“”,
由①知.
设该科室5名职工中得分不小于20分的人数为,则.
所以,
即这5名职工中至少有4人得分不小于20分的概率为.
(2)由题意知
该次测试的难度预估是合理的.
【点睛】本题主要考查互斥事件的概率公式、*事件同时发生的概率公式以及离散型随机变量的分布列与数学期望,属于中档题. 求解数学期望问题,首先要正确理解题意,其次要准确无误的找出随机变量的所有可能值,计算出相应的概率,写出随机变量的分布列,正确运用均值公式进行计算,也就是要过三关:(1)阅读理解关;(2)概率计算关;(3)公式应用关.
知识点:统计
题型:解答题
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