如图a,旅行车上有一个半径为R的三脚圆凳(可视为刚*结构),三个相同凳脚的端点连线(均水平)构成边长为a的等边...
问题详情:
如图a,旅行车上有一个半径为R的三脚圆凳(可视为刚*结构),三个相同凳脚的端点连线(均水平)构成边长为a的等边三角形,凳子质心位于其轴上的G点.半径为r的一圆筒形薄壁茶杯放在凳面上,杯底中心位于凳面中心O点处,茶杯质量为m(远小于凳子质量),其中杯底质量为(杯壁和杯底各自的质量分布都是均匀的),杯高为H(与杯高相比,杯底厚度可忽略).杯中盛有茶水,茶水密度为.重力加速度大小为g.
(1)为了使茶水杯所盛茶水尽可能多并保持足够稳定,杯中茶水的最佳高度是多少?
(2)现该茶水杯的底面边缘刚好缓慢滑移到与圆凳的边缘内切于D点时静止(凳面边有小凸缘,可防止物体滑出;凳面和凳面边的凸缘各自的质量分布都是均匀的),且OD⊥AC(见图b),求此时旅行车内底板对各凳脚的支持力相对于滑移前(该茶水杯位于凳面中心处)的改变.
【回答】
(1) (2)
【解析】
(1)以凳面中心O为坐标原点,以过O点向上的竖直线为y轴.茶杯(包括茶水在内)的质心位置为
(1)
式中h是杯中茶水的高度.令,(1)式即
事实上,考虑在茶杯中茶水的水平面从杯底逐渐缓慢上升的过程,茶水杯整体的质心先是逐渐降低,然后再逐渐上升.为了使茶水杯盛尽可能多的茶水并保持足够稳定,茶水杯整体的质心应尽可能接近凳面,处于最低点的位置,故有
(2)
由(1)(2)式得
(3)
舍弃负值(不合题意),杯中茶水的最佳高度为
(4)
【另一种解法】:
事实上,考虑在茶杯中茶水的水平面从杯底逐渐缓慢上升的过程,茶水杯整体的质心先是逐渐降低,然后再逐渐上升.为了使茶水杯盛尽可能多的茶水并保持足够稳定,茶水杯整体的质心应尽可能接近凳面,处于最低点的位置.(1)式即
它满足代数不等式
式中当h满足
即
(4)
时取等号,即杯中茶水的最佳高度.】
(2)记凳子质量为M.该茶水杯的底面边缘刚好滑移到与圆凳的边缘内切于D点静止后,坐标系及三脚圆凳的受力分析分别如解题图a和解题图b所示,其中、和分别是车内底板对凳脚A、B和C的支持力.由几何关系有
(5)
(6)
三脚圆凳处于力平衡状态,竖直方向合力为零
(7)
(8)
式中,,P=Mg.由(7)(8)式得
以x轴为转动轴,力矩平衡
(9)
记,由(5)(6)(9)式有
【另一种解法】
以AC为转动轴,由力矩平衡条件有
(9)
即
联立以上各式得
(10)
(11)
值得指出的是,解(10)满足,即,
(12)
这已由题给条件保*了.
由(7)(10)(11)式得,此时旅行车内底板对各凳脚的支持力相对于茶水杯滑移前的改变为
(13)
(14)
知识点:物理竞赛
题型:解答题
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