数学活动课上,老师让同学们以“三角形的旋转"为主题开展数学活动,ABC和DEC是两个全等的直角三角形纸片,其中...

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数学活动课上,老师让同学们以“三角形的旋转"为主题开展数学活动,ABC和DEC是两个全等的直角三角形纸片,其中∠ACB=∠DCE=90°,B=∠E =30° ,AB=DE =4.

解决问题

(1)如图①,智慧小组将DEC绕点C顺时针旋转,发现当点D恰好落在AB边上时,DE//AC,请你帮他们*这个结论;

(2)缜密小组在智慧小组的基础上继续探究,连接AE、AD、BD,当DEC绕点C继续旋转到如图②所示的位置时,他们提出,请你帮他们验*这一结论是否正确,并说明由;

探索发现

(3)如图③,勤奋小组在前两个小组的启发下,继续旋转DEC,当B.A、E三点共线时,求BD的长;

(4)在图①的基础，上,写出一个边长比为1::2的三角形(可添加字母)。

【回答】

  (1)*：∵△ABC和△DEC是两个全等的直角三角形纸片，

∴AC＝CD，

∵∠BAC＝90°－∠B＝90°－30°＝60°，

∴△ACD是等边三角形，

∴∠ACD＝60°，……(1分)

又∵∠CDE＝∠BAC＝60°，

∴∠ACD＝∠CDE，

∴DE∥AC；……(2分)

(2)解：正确，理由如下：

如解图①，过点A作AN⊥EC，交EC延长线于点N，过点D作DM⊥BC于点M.

∵△ABC和△DEC是两个全等的直角三角形纸片，

∴BC＝CE，AC＝CD，……(3分)

∵∠ACN＋∠BCN＝90°，∠DCM＋∠BCN＝180°－90°＝90°，

∴∠ACN＝∠DCM，……(4分)

在△ACN和△DCM中，

∵，

∴△ACN≌△DCM(AAS)，

∴AN＝DM，

∴S△BDC＝S△AEC(等底等高的三角形面积相等)；(5分)

(解图①)

(3)解：∵CE＝CB，

∴∠BEC＝∠ABC＝30°，

又∵∠DEC＝∠ABC＝30°，

∴∠BED＝60°，(6分)

由(1)可知∠BAC＝60°，

∴AC//DE，

∴∠ACE＝∠DEC＝30°，

∴AC＝AE，(7分)

∵AC＝CD，∴AE＝CD，

在△ADE和△CED中，，

∴△ADE≌△CED，

∴∠EAD＝∠DCE＝90°，AD＝CE，即DA⊥AB，(8分)

在△ABC中，∠B＝30°，AB＝4，

∴BC＝CE＝AD＝2，

在Rt△BAD中，由勾股定理得BD＝＝2；(9分)

(4)解：*不唯一，合理即可．(11分)

例：如解图②，记BC与DE交于点F，则△DFB是边长比为1∶ ∶2的三角形．

(解图②)

知识点：勾股定理

题型：综合题