在区间[0,1]上给定曲线y＝x2，如图所示，试在此区间内确定点t的值，使图中的*影部分的面积S1与S2之和最...

问题详情：

在区间[0,1]上给定曲线y＝x2，如图所示，试在此区间内确定点t的值，使图中的*影部分的面积S1与S2之和最小．

【回答】

解　面积S1等于边长为t与t2的矩形的面积去掉曲线y＝x2与x轴、直线x＝t围成的面积，

即S1＝t·t2－ʃx2dx＝t3.

面积S2等于曲线y＝x2与x轴，x＝t，x＝1围成的面积去掉矩形面积，矩形边长分别为t2，(1－t)，

即S2＝ʃx2dx－t2(1－t)＝t3－t2＋.

所以*影部分面积S为：

S＝S1＋S2＝t3－t2＋(0≤t≤1)，

由S′(t)＝4t2－2t＝4t(t－)＝0，

得t＝0，或t＝.

由于当0<t<时，S′(t)<0；

当<t<1时，S′(t)>0，

所以S(t)在0<t<上单调递减，

在<t<1上单调递增．

所以当t＝时，S最小，即图中*影部分的面积S1与S2之和最小．

知识点：导数及其应用

题型：解答题