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我们给出如下定义:顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形. (1)如图1,四边形ABCD中,点E,F,G,H分别为边AB,BC,CD,DA的中点. 求*:中点四边形EFGH是平行四边形; (2)如图2,点P是四边形ABCD内一点,且满足PA=PB,PC=PD,∠APB=∠CPD,点E,F,G,H分别为边AB,BC,CD,DA的中点,猜想中点四边形EFGH的形状,并*你的猜想; (3)若改变(2)中的条件,使∠APB=∠CPD=90°,其他条件不变,直接写出中点四边形EFGH的形状.(不必*)
【回答】
(1)*:如图1中,连接BD. ∵点E,H分别为边AB,DA的中点, ∴EH∥BD,EH=BD, ∵点F,G分别为边BC,CD的中点, ∴FG∥BD,FG=BD, ∴EH∥FG,EH=GF, ∴中点四边形EFGH是平行四边形. (2)四边形EFGH是菱形. *:如图2中,连接AC,BD. ∵∠APB=∠CPD, ∴∠APB+∠APD=∠CPD+∠APD 即∠APC=∠BPD, 在△APC和△BPD中, , ∴△APC≌△BPD, ∴AC=BD ∵点E,F,G分别为边AB,BC,CD的中点, ∴EF=AC,FG=BD, ∵四边形EFGH是平行四边形, ∴四边形EFGH是菱形. (3)四边形EFGH是正方形. *:如图2中,设AC与BD交于点O.AC与PD交于点M,AC与EH交于点N. ∵△APC≌△BPD, ∴∠ACP=∠BDP, ∵∠DMO=∠CMP, ∴∠COD=∠CPD=90°, ∵EH∥BD,AC∥HG, ∴∠EHG=∠ENO=∠BOC=∠DOC=90°, ∵四边形EFGH是菱形, ∴四边形EFGH是正方形.
知识点:特殊的平行四边形
题型:解答题
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