设赛车道在同一水平面上,车轮与地面间的摩擦因数为,且不随速度变化,问:(1)当赛车运动员驾车做90°转弯时,应...
问题详情:
设赛车道在同一水平面上,车轮与地面间的摩擦因数为,且不随速度变化,问:
(1)当赛车运动员驾车做90°转弯时,应选择图*中的半径为的圆弧外车道还是半径为的圆弧内车道?
(2)做180°转弯时,又应选择图乙中的哪个车道?
请作出必要的计算并据此得出结论。为简化起见,可把赛车作质点处理,且设赛车在刹车减速时四轮同时刹车,并假设赛车在加速过程和减速过程中的加速度的绝对值相等,赛车在直道上高速行驶的速度(空气阻力忽略不计)。
【回答】
(1)应选择外道行驶
(2)①当,应选择内道;
②,应选择外道;
③当,选择内、外道均一样
【解析】
1.先讨论赛车沿圆弧运动的最大速度,
赛车圆弧运动时所需的向心力由摩擦力提供,与最大静摩擦力相应的运动速度就是允许的最大速度. 如果速度再提高,所需的向心力就大于地面所能提供的摩擦力,因而赛车就不可能沿圆弧运动而将发生侧向滑动,沿圆弧运动的最大速度-与圆半径、摩擦因数有下列关系:,
即有. (*)
此即赛车沿圆弧运动的最大速度.
2.计算赛车沿直轨道加速行驶或减速行驶的加速度、所用时间及距离.
设赛车在直道上高速行驶时的速度为,在进入圆弧轨道前要将车速由降至(*)式中的速度. 刹车后,赛车在与地面问的摩擦力作用下减速,赛车的加速度为.
赛车自圆弧轨道终点处开始加速. 据题设,其加速度为.
赛车由增至后,以速度匀速行驶.
根据匀加速运动的公式,加速与减速过程所用的时间和行驶的距离分别为
,.
3.根据以上分析,我们可以比较沿内道贺沿外道所用时间的长短.
(1)90°转弯时的情况,如图乙所示.
内道和外道的半径分别为和,沿圆弧轨道的最大速度和分别为,.
先讨论赛车沿外道行驶时的情况.
如图乙所示,赛车沿外道行驶时,为减速过程,由上面的分析可知.
为沿半径为的圆周做匀速率圆周运动,则.
为加速过程,时间与相同.
为匀速()运动,为赛车沿内道运动加速至速度为时的位置,所以,.
因而,赛车在全过程中所需时间为
.
赛车沿外道行驶时,减速过程和加速过程的距离和均为.
再讨论赛车沿内道行驶时的情况.
如图乙所示,赛车沿内道行驶时,为匀速()过程;减速过程,为沿半径为的圆周做匀速率()圆周运动;为加速过程;类似于外道的时间计算可得所需时间为.
赛车沿内道行驶时减速过程和加速过程的距离和均为.
由几何关系及、可得
,.
由上述两式及前面的时间关系可得
,.
两者之差为.
显然,沿外道所用时间较少,应选择外道行驶.
(2)180°转弯时的情况(图*)
如图*所示,赛车沿外道行驶时,为减速过程;为匀速率()圆周运动;为加速过程;赛车沿内道行驶时,为匀速()过程;减速过程,为匀速率()圆周运动. 根据前面得到的关系可求得:
赛车沿外道行驶所用时间为.
赛车沿内道行驶所用时间为.
而,故,
.
由上式可得以下结论:
①当,即时,,应选择图*中的内道;
②,即时,,应选择图*中的外道;
③当,即时,,选择内、外道均一样.
知识点:牛顿第一定律
题型:解答题
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