杨辉三角,是二项式系数在三角形中的一种几何排列.在欧洲,这个表叫做帕斯卡三角形,帕斯卡(1623-1662)是...
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杨辉三角,是二项式系数在三角形中的一种几何排列.在欧洲,这个表叫做帕斯卡三角形,帕斯卡(1623-1662)是在1654年发现这一规律的.我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表,这是我国数学史上的一个伟大成就.如图所示,在“杨辉三角”中,去除所有为1的项,依次构成数列,则此数列前135项的和为( )
A. B. C. D.
【回答】
A
【解析】
【分析】
利用n次二项式系数对应杨辉三角形的第n+1行,然后令x=1得到对应项的系数和,结合等比数列和等差数列的公式进行转化求解即可.
【详解】n次二项式系数对应杨辉三角形的第n+1行,
例如(x+1)2=x2+2x+1,系数分别为1,2,1,对应杨辉三角形的第3行,令x=1,就可以求出该行的系数之和,
第1行为20,第2行为21,第3行为22,以此类推
即每一行数字和为首项为1,公比为2的等比数列,
则杨辉三角形的前n项和为Sn2n﹣1,
若去除所有的为1的项,则剩下的每一行的个数为1,2,3,4,……,可以看成一个首项为1,公差为1的等差数列,
则Tn,
可得当n=15,在加上第16行的前15项时,所有项的个数和为135,
由于最右侧为2,3,4,5,……,为首项是2公差为1的等差数列,
则第16行的第16项为17,
则杨辉三角形的前18项的和为S18=218﹣1,
则此数列前135项的和为S18﹣35﹣17=218﹣53,
故选:A.
知识点:推理与*
题型:选择题
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