设曲线C的方程是y=x3-x,将C沿x轴、y轴正向分别平行移动t、s单位长度后得曲线C1。(Ⅰ)写出曲线C1的...
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设曲线C的方程是y=x3-x,将C沿x轴、y轴正向分别平行移动t、s单位长度后得曲线C1。
(Ⅰ)写出曲线C1的方程;
(Ⅱ)*曲线C与C1关于点A(t/2,s/2)对称;
(Ⅲ)如果曲线C与C1有且仅有一个公共点,*s=t3/4-t且t≠0。
【回答】
(Ⅰ)解:曲线C1的方程为 y=(x-t)3-(x-t)+s。
(Ⅱ)*:在曲线C上任取一点B1(x1,y1)。设B2(x2,y2)是B1关于点A的对称点,则有
x1+x2/2=t/2, y1+t2/2=s/2。 ∴x1=t-x2, y1=s-y2。
代入曲线C的方程,得x2和y2满足方程: s-y2=(t-x2)3-(t-x2),
即 y2=(x2-t)3-(x2-t)+s,可知点B2(x2,y2)在曲线C1上。
反过来,同样可以*,在曲线C1上的点关于点A的对称点在曲线C上。
因此,曲线C与C1关于点A对称。
(Ⅲ)*:因为曲线C与C1有且公有一个公共点,
所以,方程组 y=x3-x, y=(x-t)3-(x-t)+s
有且公有一组解。 消去y,整理得
3tx2-3t2x+(t3-t-s)=0, 这个关于x的一元二次方程有且仅有一个根。
所以t≠0并且其根的判别式 △=9t4-12t(t3-t-s)=0。
即 t≠0, t(t3-4t-4s)=0。 ∴s=t3/4-t 且 t≠0。
知识点:圆锥曲线与方程
题型:计算题
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