如图,设A是由个实数组成的n行n列的数表,其中aij(i,j=1,2,3,…,n)表示位于第i行第j列的实数,...
问题详情:
如图,设A是由个实数组成的n行n列的数表,其中aij (i,j=1,2,3,…,n)表示位于第i行第j列的实数,且aij{1,-1}.记S(n,n)为所有这样的数表构成的*.对于,记ri (A)为A的第i行各数之积,cj (A)为A的第j列各数之积.令
a11 | a12 | … | a1n |
a21 | a22 | a2n | |
… | … | … | … |
an1 | an2 | … | ann |
(Ⅰ)请写出一个AS(4,4),使得l(A)=0;
(Ⅱ)是否存在AS(9,9),使得l(A)=0?说明理由;
(Ⅲ)给定正整数n,对于所有的AS(n,n),求l(A)的取值*.
【回答】
(Ⅰ)*见解析;(Ⅱ)不存在,理由见解析;(Ⅲ)
【分析】
(Ⅰ)可取第一行都为-1,其余的都取1,即满足题意;
(Ⅱ)用反*法*:假设存在,得出矛盾,从而*结论;
(Ⅲ)通过分析正确得出l(A)的表达式,以及从A0如何得到A1,A2……,以此类推可得到Ak.
【详解】
(Ⅰ)*不唯一,如图所示数表符合要求.
(Ⅱ)不存在AS(9,9),使得l(A)=0,*如下:
假如存在,使得.
因为,,
所以,,...,,,,...,这18个数中有9个1,9个-1.
令.
一方面,由于这18个数中有9个1,9个-1,从而①,
另一方面,表示数表中所有元素之积(记这81个实数之积为m);
也表示m,从而②,
①,②相矛盾,从而不存在,使得.
(Ⅲ)记这个实数之积为p.
一方面,从“行”的角度看,有;
另一方面,从“列”的角度看,有;
从而有③,
注意到,,
下面考虑,,...,,,,...,中-1的个数,
由③知,上述2n个实数中,-1的个数一定为偶数,该偶数记为,则1的个数为2n-2k,
所以,
对数表,显然.
将数表中的由1变为-1,得到数表,显然,
将数表中的由1变为-1,得到数表,显然,
依此类推,将数表中的由1变为-1,得到数表,
即数表满足:,其余,
所以,,
所以,
由k的任意*知,l(A)的取值*为.
【点睛】
本题为数列的创新应用题,考查数学分析与思考能力及推理求解能力,解题关键是读懂题意,根据引入的概念与*质进行推理求解,属于较难题.
知识点:数列
题型:解答题
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