我们把对称中心重合,四边分别平行的两个正方形之间的部分叫“方形环”,易知方形环四周的宽度相等.一条直线l与方形...
问题详情:
我们把对称中心重合,四边分别平行的两个正方形之间的部分叫“方形环”,易知方形环四周的宽度相等.
一条直线l与方形环的边线有四个交点M、M′、N′、N.小明在探究线段MM′与N′N 的数量关系时,从点M′、N′向对边作垂线段M′E、N′F,利用三角形全等、相似及锐角三角函数等相关知识解决了问题.请你参考小明的思路解答下列问题:
(1)当直线l与方形环的对边相交时,如图1,直线l分别交AD、A′D′、B′C′、BC于M、M′、N′、N,小明发现MM′与N′N相等,请你帮他说明理由;
(2)当直线l与方形环的邻边相交时,如图2,l分别交AD、A′D′、D′C′、DC于M、M′、N′、N,l与DC的夹角为α,你认为MM′与N′N还相等吗?若相等,说明理由;若不相等,求出的值(用含α的三角函数表示).
【回答】
解 (1)在方形环中,∵M′E⊥AD,N′F⊥BC,AD∥BC,
∴M′E=N′F,∠M′EM=∠N′FN=90°,
∠EMM′=∠FNN′,∴△MM′E≌△NN′F.
∴MM′=N′N.
(2)法一 ∵∠NFN′=∠MEM′=90°,
∠FNN′=∠EM′M=α,
∴△NFN′∽△M′EM,∴=.
∵M′E=N′F,∴==tan α.
①当α=45°时,tan α=1,则MM′=NN′;
②当α≠45°时,MM′≠NN′,则=tan α.
法二 在方形环中,∠D=90°.
又∵M′E⊥AD,N′F⊥CD,∴M′E∥DC,N′F=M′E.
∴∠MM′E=∠N′NF=α.
在Rt△NN′F与Rt△MM′E中,
sin α=,cos α=,即=tan α.
① 当α=45°时,MM′=NN′;
②当α≠45°时,MM′≠NN′,则=tan α.
知识点:相似三角形
题型:解答题
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