设定义在上的函数,满足,为奇函数,且,则不等式的解集为( )A. B. C. D.
问题详情:
设定义在上的函数,满足,为奇函数,且,则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
【回答】
.D
【解析】分析:构造函数g(x)=exf(x)+ex,(x∈R),求函数的导数,研究g(x)的单调*,将不等式进行转化求解即可.
详解:设g(x)=exf(x)-ex,(x∈R),则g′(x)=exf(x)+exf′(x)-ex=ex[f(x)+f′(x)-1],∵f(x)+f′(x)>1,∴f(x)+f′(x)+1>0,∴g′(x)>0,∴y=g(x)在定义域上单调递增,不等式ln(f(x)-1)>ln2-x等价为不等式ln[f(x)-1]+x>ln2, 即为ln[f(x)-1]+lnex>ln2,即ex(f(x)-1)>2,则exf(x)-ex>2,∵y=f(x)-3为奇函数,∴当x=0时,y=0,即f(0)-3=0,得f(0)=3,又∵g(0)=e0f(0)-e0=3-1=2,∴exf(x)-ex>2等价为g(x)>g(0),∴x>0,∴不等式的解集为(0,+∞), 故选:D.
点睛:本题考查函数的导数与单调*的结合,结合已知条件构造函数,然后用导数判断函数的单调*是解题的关键,综合*较强,有一定的难度.
知识点:基本初等函数I
题型:选择题
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