先阅读下列材料,再解答下列问题:材料:因式分解:(x+y)2+2(x+y)+1.解:将“x+y”看成整体,令x...
问题详情:
先阅读下列材料,再解答下列问题:
材料:因式分解:(x+y)2+2(x+y)+1.
解:将“x+y”看成整体,令x+y=A,则
原式=A2+2A+1=(A+1)2.
再将“A”还原,得原式=(x+y+1)2.
上述解题用到的是“整体思想”,“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法,请你解答下列问题:
(1)因式分解:1+2(x-y)+(x-y)2=_______________;
(2)因式分解:(a+b)(a+b-4)+4;
(3)求*:若n为正整数,则式子(n+1)(n+2)(n2+3n)+1的值一定是某一个整数的平方.
【回答】
(1)(x-y+1)2;(2)见解析;(3)见解析.
【解析】
分析:(1)把(x-y)看作一个整体,直接利用完全平方公式因式分解即可;(2)令A=a+b,带入后因式分解即可将原式因式分解;(3)将原式转化为(n²+3n) 【(n+1)(n+2)】+1,进一步整理为(n²+3n+1) ²,根据n为正整数,从而说明原式是整数的平方.
本题解析:
(1).1+2(x-y)+(x+y) ²=(x﹣y+1)2;
(2)令A=a+b,则原式变为A(A﹣4)+4=A2﹣4A+4=(A﹣2)2,
故(a+b)(a+b﹣4)+4=(a+b﹣2)2;
(3)(n+1)(n+2)(n2+3n)+1=(n2+3n)【(n+1)(n+2)】+1
=(n2+3n)(n2+3n+2)+1
=(n2+3n)2+2(n2+3n)+1
=(n2+3n+1)2,
∵n为正整数,
∴n2+3n+1也为正整数,
∴代数式(n+1)(n+2)(n2+3n)+1的值一定是某一个整数的平方.
点睛;本题考查了因式分解的应用,解题的关键是认真审题你,理解题意,掌握整体思想解决问题.
知识点:因式分解
题型:解答题
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