古代印度婆罗门教寺庙内的僧侣们曾经玩过一种被称为“河内宝塔问题”的游戏,其玩法如下:如图,设有n()个圆盘依其...
问题详情:
古代印度婆罗门教寺庙内的僧侣们曾经玩过一种被称为“河内宝塔问题”的游戏,其玩法如下:如图,设有n()个圆盘依其半径大小,大的在下,小的在上套在A柱上,现要将套在A柱上的盘换到C柱上,要求每次只能搬动一个,而且任何时候不允许将大盘套在小盘上面,假定有三根柱子A、B、C可供使用.
现用an表示将n个圆盘全部从A柱上移到C柱上至少所需要移动的次数,回答下列问题:
(I)求a1,a2,a3,并写出an的一个递推关系;
(II)记,求和();
(提示:)
(III)*:.
【回答】
解:(1) ………2分
事实上,要将个圆盘全部转移到C柱上,只需先将上面个圆盘转移到B柱上,需要次转移,然后将最大的那个圆盘转移到C柱上,需要一次转移,再将柱上的个圆盘转移到C柱上,需要次转移,所以有 ………4分
(II)由(1)得:,
所以 …………6分
…………9分
(III)(II)得:
令,则当时
又,所以对一切有:
…………12分
(方法二:,从第四项开始放缩求和)
另方面恒成立,所以对一切有
综上所述有:…
知识点:数列
题型:解答题
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