六个相同的电阻(阻值均为)连成一个电阻环,六个接点依次为1、2、3、4、5和6,如图复16-5-1所示。现有五...
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六个相同的电阻(阻值均为)连成一个电阻环,六个接点依次为1、2、3、4、5和6,如图复16-5-1所示。现有五个完全相同的这样的电阻环,分别称为 、、┅。
现将的1、3、5三点分别与的2、4、6三点用导线连接,如图复16-5-2所示。然后将的1、3、5三点分别与的2、4、6三点用导线连接,┅ 依此类推。最后将的1、3、5三点分别连接到的2、4、6三点上。
1.*全部接好后,在上的1、3两点间的等效电阻为。
2.求全部接好后,在上的1、3两点间的等效电阻。
【回答】
解法一:
1.(1)电阻图变形.
此题连好的线路的平面图如图预解16-5-1所示.
现将电阻环改画成三角形,1、3、5三点为顶点,2、4、6三点为三边中点,如图预解1—5-2与图预解16-5-3所示.整个连好的线路相当于把的三个顶点分别接到的三个中点上,图预解16-5-1变为图预解16-5-4.这样第1问归结为求图预解16-5-4中最外层三角环任意两顶点间的等效电阻。
(2)递推公式.
为使图形简化,讨论如何将接好的两个电阻环化简成为一个单环。由六个阻值为的电阻构成一个三角环,将其顶点接在另一由六个阻值为的电阻构成的三角环的中点上(如图预解16-5-5所示)。
图预解16-5-6是由六个阻值为的电阻构成的三角环。若图预解16-5-5顶点1、3间的电阻与图预解16-5-6顶点l、3间的电阻阻值相等,我们称图预解16-5-6中的为等效单环电阻.
用符号“//”表示电阻的并联,如
由图预解16-5-5中的对称*可知l、3两顶点间的电阻等于图预解16-5-7中1、0间的电阻的2倍,即
(1)
同理,图预解16-5-6中1、3两顶点间的电阻为
(2)
由(1)、(2)式得等效单环电阻为
(3)
2. 第一问
现在考虑把、、、、按相反的次序,由内向外依次连接的情况.首先将接在外面,求双环的等效单环电阻〔即(3)式中的〕.这时.由(3)式得到为
其次,在双环外面接上,这时.三环的等效单环电阻为
由此可得一般公式,环的等效单环电阻可由求出
(4)
于是
由(2)式得出由一个环()、两个环()直至五个环()构成的线路1、3点间的电阻为
答:所求的五个环的1与3间的等效电阻确为.*毕。
3. 第二问
根据五个组成的圆柱形网络的对称*,的l、3两点等价于的2、4两点.等价线路如图预解16-5-8与图预解16-5-9所示.设二图等价,求图预解16-5-9中的即可.
所以
答:所求值为。
解法二:
第一问
图预解16-5-3可看做的接线图,其一半如图预解16-5-10所示,竖直粗线为一短路线.一个环()构成线路的1与0点间的阻值用表示,根据对称*,。
当接入后,由两个环(类似图预解16-5-5)构成线路图的一半如图预解16-5-11所示.三个带*影的电阻与短路线围成的三角形()中的2与间的阻值就是图预解16-5-10中1与0间的阻值。其等效电路如图预解16-5-12所示.图预解16-5-11(或图预解16-5-12)中的l与0点间的阻值用表示.有
再将双环接入,其一半如图预解16-5-13所示,三个带*影的电阻与短路线围成的三角形中含有六个电阻,其2与间的阻值就对应为,参看图预解16-5-12的等效电路,得
同理,得
由此得
第二问
五个电阻环构成线路后,最外层环()上2点与4点间的等效电阻可借用图预解16-5-12求得,将图中换成,五个环构成的线路中2与4间阻值可如下求得:
因
故
知识点:专题七 直流电路和交流电路
题型:计算题
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