如果三角形的两个内角α与β满足2α+β=90°,那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”.(1)若△ABC是“...
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如果三角形的两个内角α与β满足2α+β=90°,那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”.
(1)若△ABC是“准互余三角形”,∠C>90°,∠A=60°,则∠B= °;
(2)如图①,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=5.若AD是∠BAC的平分线,不难*△ABD是“准互余三角形”.试问在边BC上是否存在点E(异于点D),使得△ABE也是“准互余三角形”?若存在,请求出BE的长;若不存在,请说明理由.
(3)如图②,在四边形ABCD中,AB=7,CD=12,BD⊥CD,∠ABD=2∠BCD,且△ABC是“准互余三角形”,求对角线AC的长.
【回答】
【分析】(1)根据“准互余三角形”的定义构建方程即可解决问题;
(2)只要*△CAE∽△CBA,可得CA2=CE•CB,由此即可解决问题;
(3)如图②中,将△BCD沿BC翻折得到△BCF.只要*△FCB∽△FAC,可得CF2=FB•FA,设FB=x,则有:x(x+7)=122,推出x=9或﹣16(舍弃),再利用勾股定理求出AC即可;
【解答】解:(1)∵△ABC是“准互余三角形”,∠C>90°,∠A=60°,
∴2∠B+∠A=60°,
解得,∠B=15°,
故*为:15°;
(2)如图①中,
在Rt△ABC中,∵∠B+∠BAC=90°,∠BAC=2∠BAD,
∴∠B+2∠BAD=90°,
∴△ABD是“准互余三角形”,
∵△ABE也是“准互余三角形”,
∴只有2∠A+∠BAE=90°,
∵∠A+∠BAE+∠EAC=90°,
∴∠CAE=∠B,∵∠C=∠C=90°,
∴△CAE∽△CBA,可得CA2=CE•CB,
∴CE=,
∴BE=5﹣=.
(3)如图②中,将△BCD沿BC翻折得到△BCF.
∴CF=CD=12,∠BCF=∠BCD,∠CBF=∠CBD,
∵∠ABD=2∠BCD,∠BCD+∠CBD=90°,
∴∠ABD+∠DBC+∠CBF=180°,
∴A、B、F共线,
∴∠A+∠ACF=90°
∴2∠ACB+∠CAB≠90°,
∴只有2∠BAC+∠ACB=90°,
∴∠FCB=∠FAC,∵∠F=∠F,
∴△FCB∽△FAC,
∴CF2=FB•FA,设FB=x,
则有:x(x+7)=122,
∴x=9或﹣16(舍弃),
∴AF=7+9=16,
在Rt△ACF中,AC===20.
【点评】本题考查四边形综合题、相似三角形的判定和*质、“准互余三角形”的定义等知识,解题的关键是理解题意,学会利用翻折变换添加辅助线,构造相似三角形解决问题,学会利用已知模型构建辅助线解决问题,属于中考压轴题.
知识点:各地中考
题型:解答题
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