有人提出了一种不用火箭发*人造地球卫星的设想.其设想如下:沿地球的一条弦挖一通道,如图*所示.在通道的两个出口...
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有人提出了一种不用火箭发*人造地球卫星的设想.其设想如下:沿地球的一条弦挖一通道,如图*所示.在通道的两个出口处A和B,分别将质量为M的物体和质量为m的待发*卫星同时自由释放,只要M比m足够大,碰撞后,质量为m的物体,即待发*的卫星就会从通道口B冲出通道.设待发卫星上有一种装置,在待发卫星刚离开出口B时,立即把待发卫星的速度方向变为沿该处地球切线的方向,但不改变速度的大小.这样待发卫星便有可能绕地心运动,成为一个人造卫星.若人造卫星正好沿地球表面绕地心做圆周运动,则地心到该通道的距离为多少?已知M=20m,地球半径.假定地球是质量均匀分布的球体,通道是光滑的,两物体间的碰撞是**的.
【回答】
【解析】
位于通道内、质量为m的物体距地心O为r时(如图乙所示),它受到地球的引力可以R。表示为
①
式中是以地心O为球心、以r为半径的球体所对应的那部分地球的质量,若以表示地球的密度,此质量可以表示为
②
于是,质量为m的物体所受地球的引力可以改写为
. ③
作用于质量为m的物体的引力在通道方向的分力的大小为
, ④
, ⑤
为r与通道的中垂线OC间的卖角,x为物*置到通道中点C的距离,力的方向指向通道的中点C.在地面上物体的重力可以表示为
⑥
式中是地球的质量。由上式可以得到
. ⑦
由以上各式可以求得
. ⑧
可见,f与*簧的*力有同样的*质,相应的“劲度系数”为
. ⑨
物体将以C为平衡位置做简谐振动,振动周期为.取x=0处为“**势能”的零点,设位于通道出口处的质量为m的静止物体到达x=0处的速度为,则根据能量守恒,有
, ⑩
式中h表示地心到通道的距离.
解以上有关各式,得
⑪
可见,到达通道中点C的速度与物体的质量无关.
设想让质量为M的物体静止于出口A处,质量为m的物体静止于出口B处,现将它们同时释放,因为它们的振动周期相同,故它们将同时到达通道中点C处,并发生**碰撞.碰撞前,两物体速度的大小都是,方向相反,刚碰撞后,质量为M的物体的速度为V,质量为m的物体的速度为v,若规定速度方向由A向B为正,则有
, ⑫
⑬
解式⑫和式⑬,得.⑭
质量为m的物体是待发*的卫星,令它回到通道出口B处时的速度为u,则有
⑮
由式⑭⑮⑯和⑨解得
⑯
u的方向沿着通道.根据题意,卫星上的装置可使u的方向改变成沿地球B处的切线方向,如果u的大小恰能使小卫星绕地球做圆周运动,则有
⑰
由式⑯⑰并注意到式⑥,可以得到,
已知,则得.
知识点:简谐运动
题型:解答题
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