计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站,过去50年的水文资料显示,水年入流量X(年入流量:一年内上游来水...
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计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站,过去50年的水文资料显示,水年入流量X(年入流量:一年内上游来水与库区降水之和,单位:亿立方米)都在40以上,其中,不足80的年份有10年,不低于80且不超过120的年份有35年,超过120的年份有5年,将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率,并假设各年的年入流量相互*.
(1)求未来4年中,至多有1年的年入流量超过120的概率.
(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行,但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制,并有如下关系:
年入流量X | 40<X<80 | 80≤X≤120 | X>120 |
发电机最多 可运行台数 | 1 | 2 | 3 |
若某台发电机运行,则该台年利润为5000万元;若某台发电机未运行,则该台年亏损800万元,欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机多少台?
【回答】
解:(1)依题意,p1=P(40<X<80)==0.2,
p2=P(80≤X≤120)==0.7,
p3=P(X>120)==0.1.
由二项分布得,在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为
p=C(1-p3)4+C(1-p3)3p3=0.94+4×0.93×0.1=0.947 7.
(2)记水电站年总利润为Y(单位:万元).
①安装1台发电机的情形.
由于水库年入流量总大于40,故一台发电机运行的概率为1,对应的年利润Y=5000,E(Y)=5000×1=5000.
②安装2台发电机的情形.
依题意,当40<X<80时,一台发电机运行,此时Y=5000-800=4200,因此P(Y=4200)=P(40<X<80)=p1=0.2;当X≥80时,两台发电机运行,此时Y=5000×2=10 000,因此P(Y=10 000)=P(X≥80)= p2+p3=0.8.由此得Y的分布列如下:
Y | 4200 | 10 000 |
P | 0.2 | 0.8 |
所以,E(Y)=4200×0.2+10 000×0.8=8840.
③安装3台发电机的情形.
依题意,当40<X<80时,一台发电机运行,此时Y=5000-1600=3400,因此P(Y=3400)=P(40<X<80)=p1=0.2;当80≤X≤120时,两台发电机运行,此时Y=5000×2-800=9200,因此P(Y=9200)=P(80≤X≤120)=p2=0.7;当X>120时,三台发电机运行,此时Y=5000×3=15 000,因此P(Y=15 000)=P(X>120)=p3=0.1.由此得Y的分布列如下:
Y | 3400 | 9200 | 15 000 |
P | 0.2 | 0.7 | 0.1 |
所以,E(Y)=3400×0.2+9200×0.7+15 000×0.1=8620.
综上,欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机2台.
知识点:概率
题型:解答题
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