已知函数上的偶函数,其图象关于点对称,且在区间上是单调函数,则的值是( )A. B. ...
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已知函数上的偶函数,其图象关于点对称,且在区间上是单调函数,则的值是( )
A. B. C. 或 D. 无法确定
【回答】
C
【解析】由f(x)是偶函数,得f(﹣x)=f(x),即sin(﹣ωx+)=sin(ωx+),
所以﹣cosφsinωx=cosφsinωx,
对任意x都成立,且ω>0,所以得cosφ=0.
依题设0<φ<π,所以解得φ=,
由f(x)的图象关于点M对称,得f(﹣x)=﹣f(+x),
取x=0,得f()=sin(+)=cos,
∴f()=sin(+)=cos,∴cos=0,
又ω>0,得=+kπ,k=1,2,3,
∴ω=(2k+1),k=0,1,2,
当k=0时,ω=,f(x)=sin(x+)在[0,]上是减函数,满足题意;
当k=1时,ω=2,f(x)=sin(2x+)在[0,]上是减函数;
当k=2时,ω=,f(x)=(x+)在[0,]上不是单调函数;
所以,综合得ω=或2.
故选C.
点睛:已知函数上的偶函数,则x=0对应函数的最值,由此得到φ=图象又关于点对称,则x=对应函数的值为0,由此得到ω=(2k+1);函数在区间上是单调函数,可以对满足ω=(2k+1)的值逐一进行验*,得到*.
知识点:三角函数
题型:选择题
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