如图所示，某住宅小区一侧有一块三角形空地，其中．物业管理拟在中间开挖一个三角形人工湖，其中都在边上（不与重合，...

问题详情：

如图所示，某住宅小区一侧有一块三角形空地，其中

．物业管理拟在中间开挖一个三角形人工湖，其中都在边上（不与重合，在之间），且．

（Ⅰ）若在距离点处，求点之间的距离；

（Ⅱ）为节省投入资金，三角形人工湖的面积要尽可能小．试确定的位置，使的面积最小，并求出最小面积．

【回答】

解：（Ⅰ）在中，因为，所以，

在中，由余弦定理得：，

所以，

所以，

在中，

，

在中，由，得；… ………6分

（Ⅱ）解法1：设 ，

在中，由，得，

在中，由，得，

所以

＝＝

＝ 

＝．

当，即时，的最小值为．

所以应设计，可使△OMN的面积最小，最小面积是km2…12分

解法2：设AM＝x，0＜x＜3．在△OAM中，由余弦定理得OM2＝AO2＋AM2－2AO·AM·cosA＝x2－3x＋9，

所以OM＝，所以cos∠AOM＝＝，

在△OAN中，sin∠ONA＝sin(∠A＋∠AON)＝ sin(∠AOM＋90°)＝cos∠AOM＝，

由＝，得ON＝·＝，

所以S△OMN＝OM·ON·sin∠MON＝···＝，0＜x＜3，

令6－x＝t，则x＝6－t，3＜t＜6，则：

S△OMN＝＝(t－9＋)≥·(2－9)＝．当且仅当t＝，即t＝3，x＝6－3时等号成立，S△OMN的最小值为，

所以M的位置为距离A点6－3 km处，可使△OMN的面积最小，最小面积是 km2．

知识点：解三角形

题型：解答题