椭圆的中心是原点O,它的短轴长为2,A(,0),F(c,0)(c>0OF|=2|FA|,过点A的直线与椭...
问题详情:
椭圆的中心是原点O,它的短轴长为2,A(,0),F(c,0)(c>0
OF|=2|FA|,过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点.
(1)求椭圆的方程及离心率;
(2)若·=0,求直线PQ的方程;
(3)设=λ(λ>1),过点P且平行于x=的直线与椭圆相交于另一点M,*=-λ.
【回答】
(1)解:由题意,可设椭圆的方程为+=1(a>).
由已知得
解得a=,c=2.
所以椭圆的方程为+=1,离心率e=.
(2)解:由(1)可得A(3,0).
设直线PQ的方程为y=k(x-3).
由方程组
得(3k2+1)x2-18k2x+27k2-6=0,
依题意Δ=12(2-3k2)>0,
得-<k<.
设P(x1,y1),Q(x2,y2),
则x1+x2=,①
x1x2=.②
由直线PQ的方程得y1=k(x1-3),y2=k(x2-3).于是
y1y2=k2(x1-3)(x2-3)=k2[x1x2-3(x1+x2)+9].③
∵·=0,
∴x1x2+y1y2=0.④
由①②③④得5k2=1,从而k=±∈(-,).
所以直线PQ的方程为x-y-3=0或x+y-3=0.
(3)*:=(x1-3,y1),=(x2-3,y2).
由已知得方程组
由题意知λ>1,解得x2=.
因F(2,0),M(x1,-y1),故
=(x1-2,-y1)=(λ(x2-3)+1,-y1)=(,-y1)=-λ(,y2).
而=(x2-2,y2)=(,y2),
所以=-λ.
知识点:圆锥曲线与方程
题型:解答题
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