提高过*大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下,大桥上的车流速度v(单位:千米/小时)...
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提高过*大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下,大桥上的车流速度v(单位:千米/小时)是车流密度x(单位:辆/千米)的函数,当桥上的车流密度达到200辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为0;当车流密度不超过20辆/千米时,车流速度为60千米/小时,研究表明:当20≤x≤200时,车流速度v是车流密度x的一次函数.
(1)当0≤x≤200时,求函数v(x)的表达式;
(2)当车流密度x为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆/小时) f(x)=x·v(x)可以达到最大,并求出最大值.(精确到1辆/小时)
【回答】
解 (1)由题意:当0≤x≤20时,v(x)=60;
当20≤x≤200时,设v(x)=ax+b,
再由已知得解得 .......4分
故函数v(x)的表达式为v(x)=..6分
(2)依题意并由(1)可得
f(x)= ……………………..8分
当0≤x≤20时,f(x)为增函数,
故当x=20时,其最大值为60×20=1 200;
当20≤x≤200时,f(x)=x(200-x)≤[]2=v(x)
=当且仅当x=200-x,即x=100时,等号成立. ……………….11分
综上,当x=100时,f(x)在区间[0,200]上取得最大值≈3 333,
即当车流密度为100辆/千米时,车流量可以达到最大,最大值约为3 333辆/小时. …………………….………..12分
知识点:函数的应用
题型:解答题
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