当兔子和狐狸处于同一栖息地时,忽略其他因素,只考虑兔子数量和狐狸数量的相互影响,为了简便起见,不妨做如下假设:...
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当兔子和狐狸处于同一栖息地时,忽略其他因素,只考虑兔子数量和狐狸数量的相互影响,为了简便起见,不妨做如下假设:(1)由于自然繁殖,兔子数每年增长10%,狐狸数每年减少15%;(2)由于狐狸吃兔子,兔子数每年减少狐狸数的0.15倍,狐狸数每年增加兔子数的0.1倍;(3)第n年时,兔子数量用表示,狐狸数量用表示;(4)初始时刻(即第0年),兔子数量有只,狐狸数量有只。请用所学知识解决如下问题:
(1)列出兔子与狐狸的生态模型(、的关系式);
(2)求出、关于n的关系式;
(3)讨论当n越来越大时,兔子与狐狸的数量是否能达到一个稳定的平衡状态,说明你的理由。
【回答】
解:⑴
⑵设,
∴=……=
又矩阵M的特征多项式 =
令得:
特征值对应的一个特征向量为
特征值对应的一个特征向量为
且
∴=
∴
⑶当n越来越大时,越来越接近于0,,分别趋向于常量210,140。即随着时间的增加,兔子与狐狸的数量逐渐增加,当时间充分长后,兔子与狐狸的数量达到一个稳定的平衡状态。
知识点:矩阵与变换
题型:计算题
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