某班课题学习小组对无盖的纸杯进行制作与探究，所要制作的纸杯如图1所示，规格要求是：杯口直径AB=6cm，杯底直...

问题详情：

某班课题学习小组对无盖的纸杯进行制作与探究，所要制作的纸杯如图1所示，规格要求是：杯口直径AB=6cm，杯底直径CD=4cm，杯壁母线AC=BD=6cm．请你和他们一起解决下列问题：

（1）小顾同学先画出了纸杯的侧面展开示意图（如图2，忽略拼接部分），得到图形是圆环的一部分．

①图2中弧EF的长为　　cm，弧MN的长为　　cm；

②要想准确画出纸杯侧面的设计图，需要确定弧MN所在圆的圆心O，如图3所示．小顾同学发现有=，请你帮她*这一结论．

③根据②中的结论，求弧MN所在圆的半径r及它所对的圆心角的度数n．

（2）小顾同学计划利用正方形纸片一张，按如图*所示的方式剪出这个纸杯的侧面，求正方形纸片的边长．

【回答】

【考点】圆的综合题．

【专题】综合题．

【分析】（1）①直接根据圆的周长公式计算；

②设它所对的圆心角的度数为n，根据弧长公式得到的长=，的长=，然后把它们相比即可得到=；

③由（2）中的结论得到得==，加上OF=ON+6，可求得ON=12，再利用弧长公式得到=4π，于是可求出n=60°；

（2）如图4，连结EF，OB，它们相交于点P，先*△OEF为等边三角形得到EF=OF=18，再*Rt△AOE≌Rt△COF得到AE=CF，则BE=BF，于是可判断OB垂直平分EF，所以PF=EF=9，由勾股定理计算出OP==9，由△PFB为等腰直角三角形和得到PB=PF=9，则OB=9+9，然后根据正方形的*质得OC=OB=．

【解答】（1）解：①如图2，弧EF的长为6πcm，弧MN的长为4πcm；

故*为6π，4π；

②*：如图3，设它所对的圆心角的度数为n，

的长=，的长=，

所以=；

③由（2）得==，

而OF=ON+6，

解得ON=12，

即r=12，

因为=4π，

解得n=60°；

（2）解：如图4，连结EF，OB，它们相交于点P，

∵四边形ABCD为正方形，

∴OA=OC，∠OBC=45°，

∵∠OEF=60°，OE=OF，

∴△OEF为等边三角形，

∴EF=OF=18，

在Rt△AOE和Rt△COF中，

，

∴Rt△AOE≌Rt△COF，

∴AE=CF，

∴BE=BF，

∴OB垂直平分EF，

∴PF=EF=9，

∴OP==9，

∵△PFB为等腰直角三角形，

∴PB=PF=9，

∴OB=9+9，

∴OC=OB=，

即正方形纸片的边长为cm．

【点评】本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆的有关*质和正方形的*质；记住弧长公式；学会把几何题展开成平面图形的方法解决几何体的问题．

知识点：弧长和扇形面积

题型：综合题