设某物体一天中的温度T是时间t的函数,已知T(t)=t3+at2+bt+c,其中温度的单位是℃,时间的单位是小...
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设某物体一天中的温度T是时间t的函数,已知T(t)=t3+at2+bt+c,其中温度的单位是℃,时间的单位是小时,规定中午12:00相应的t=0,中午12:00以后相应的t取正数,中午12:00以前相应的t取负数(例如早上8:00对应的t=﹣4,下午16:00相应的t=4),若测得该物体在中午12:00的温度为60℃,在下午13:00的温度为58℃,且已知该物体的温度在早上8:00与下午16:00有相同的变化率.
(1)求该物体的温度T关于时间t的函数关系式;
(2)该物体在上午10:00至下午14:00这段时间中(包括端点)何时温度最高?最高温度是多少?
【回答】
【考点】36:函数解析式的求解及常用方法.
【分析】(1)由题意可得当t=0时,T(t)=60; 当t=1时,T(t)=58;T′(﹣4)=T′(4),由此求得待定系数a、b、c的值,可得函数的解析式.
(2)利用导数研究函数的单调*,由单调*求得函数的最大值,从而得出结论.
【解答】解:(1)由题意可得,T′(t)=3t2+2at+b,当t=0时,T(t)=60;
当t=1时,T(t)=58;T′(﹣4)=T′(4),
故有c=60,1+a+b+c=58,3•(﹣4)2+2a•(﹣4)+b=3•42+2a•4+b,
解得a=0,b=﹣3,c=0,∴T(t)=t3 ﹣3t+60,(﹣12≤t≤12).
(2)该物体在上午10:00至下午14:00这段时间中(包括端点),即﹣2≤t≤2,T′(t)=3t2﹣3,
故当t∈[﹣2,﹣1)、(1,2]时,T′(t)=3t2﹣3>0,函数单调递增;故当t∈[﹣1,1]时,T′(t)=3t2﹣3≤0,函数单调递减,
故当t=﹣1时,函数取得极大值为T(﹣1)=64,而区间[﹣2,2]的端点值T(﹣2)=58,T(2)=62,
故函数T(t)=t3+at2+bt+c在区间[﹣2,2]上的最大值为64,
故上午11点温度最高为64°.
知识点:函数的应用
题型:解答题
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