下图为一台冷轧机的示意图。冷轧机由若干对轧辊组成，带钢从一端输入，经过各对轧辊逐步减薄后输出。（Ⅰ）输入带钢的...

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下图为一台冷轧机的示意图。冷轧机由若干对轧辊组成，带钢从一端输入，经过各对轧辊逐步减薄后输出。

（Ⅰ）输入带钢的厚度为a，输出带钢的厚度为β，若每对轧辊的减薄率不超过r0，问冷轧机至少需要安装多少对轧辊？

（Ⅱ）已知一台冷轧机共有4对减薄率为20%的轧辊，所有轧辊周长均为1600mm，若第k对轧辊有缺陷,每滚动一周在带钢上压出一个疵点，在冷轧机输出的带钢上，疵点的间距为Lk，为了便于检修，请计算L1、L2、L3并填入下表（轧钢过程中，带钢宽度不变，且不考虑损耗）。

【回答】

（I）解：厚度为a的带钢经过减薄率均为ro的n对轧辊后厚度为a(1-ro)n.

为使出带钢的厚度不超过β，冷轧机的轧辊数（以对为单位）应满足a(1-ro)n≤β，

即 (1-ro)n≤β/a

由于(1-ro)n>O, β/a>0,对上式两端取对数，得nlg(l-ro)≤lg(β/a).

由于lg(1-ro)<0,所以n≥(lgβ-lga)/[lg(1-ro)].

因此，至少需要安装不小于(lgβ-lga)/[lg(1-ro)]的整数对轧辊

（II）解法一：第k对轧辊出口处疵点间距离为轧辊周长，在此处出口的两疵点间带钢的体积为1600a×(1-r)k×宽度 （其中r＝20％），而在冷轧机出口处两疵点间带钢的体积为Lk×a(1-r)4×宽度。

因宽度相等，且无损耗，由体积相等得1600・a(1-r)k=Lk・a(1-k)4(r=20%),

即 Lk=1600・0.8K-4. 由此得 l3=2000(mm), l2=2500(mm), l1=3125mm)

解法二：第3对轧辊出口疵点间距为轧辊周长，在此处出口的两疵点间带钢体积与冷轧机出口处两疵点间带钢体积相等，因宽度不变，有：1600=L3・(1-0.2),

所以 L3=1600/0.8=2000(mm).

同理 L2=L3/0.8=2500(mm).L1=L2/0.8=3125(mm).

知识点：函数的应用

题型：计算题